Efek Substitusi dan Efek Pendapatan

Yuhka Sundaya

Artikel ini ditulis ketika saya memelajari mikroekonomi pada Tahun 2004. Sumbernya adalah :

Henderson, J. M., & Quandt, R. E. (1958). Microeconomic Theory : a Mathematical Approach. (S. E. Harris, Ed.) New York: McGraw-Hill.

Berikut link untuk contoh pembelajaran mikroekonomi dengan menggunakan software Microsoft Mathematics :

🚀

Persamaan Slutsky

Analisis komparatif statik menguji efek dari gangguan dalam variabel eksogen (misalnya harga dan pendapatan) terhadap nilai solusi variabel endogen (misalnya jumlah). Perubahan dalam harga dan pendapatan akan secara normal mengubah pola pengeluaran konsumen, akan tetapi kuantitas baru (harga dan pendapatan) akan selalu memenuhi kondisi turunan pertama (2-9). Dalam tujuan untuk menemukan besarnya (magnitude) dari efek perubahan harga dan pendapatan atas pembelian konsumen, maka harus menyatakan seluruh variabel berubah secara simultan.

Melalui model berikut :

L = f(q₁, q₂) + l(y – p₁q₁ – p₂q₂)

Dimana kondisi optimalnya  (turunan pertama) adalah

L₁ = f₁ - lp₁ = 0

L₂ = f₂ - lp₂ = 0

L_l = Y – p₁q₁ – p₂q₂ = 0

dan differensiasi totalnya adalah

f₁₁ dq₁ + f₁₂ dq₂ – p₁ dl = l dp₁

f₂₁ dq₁ + f₂₂ dq₂ – p₂ dl = l dp₂                                             … 2-27

-p₁dq₁ –  p₂ dq₂              = - dy + q₁ dp₁ + q₂ dp₂

Differensiasi total membentuk matrik Hessian sebagai berikut :

Dalam tujuan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan untuk tiga variabel tak diketahui, dq1, dq2, dl, maka term pada sisi kanan persamaan harus dipertimbangkan sebagai konstanta. Determinan koefisien matriknya adalah D = 2f₁₂.p₁.p₂ – f₁₁.p₂₂ – f₂₂.p₁₂ > 0. D₁₁ meringkas elemen kofaktor dari baris dan kolom pertama, D₁₂ meringkas elemen kofaktor dari baris pertama kolom kedua, dst, maka solusinya adalah :

Bagi kedua sisi persamaan 2-28 oleh p₁, dan asumsikan p₂ dan y tidak berubah (dp₂=dy=0), maka diperoleh

∂q₁/∂p₁ = D₁₁.l/D + q₁ (D₃₁/D)                                              … 2-30

Derivasi parsial pada sisi kiri persamaan 2-30 merupakan tingkat perubahan pembelian konsumen atas q₁ yang tanggap terhadap perubahan dalam p₁. Ceteris paribus, tingkat perubahan pembelian konsumen atas q₁ yang tanggap terhadap perubahan pendapatan adalah

∂q₁/∂y = - D₃₁/D                                                                     … 2-31

yang menunjukkan bahwa perubahan dalam harga komoditi mengubah tingkat utilitas konsumen, ketika keseimbangan baru dicapai yang berada di bawah kurva indifferent pertama.

Pertimbangkan perubahan harga yang dikompensasi  oleh perubahan pendapatan yang mengubah konsumen pada kurva indifferent awal. Suatu kenaikan dalam harga seperti itu dU = 0 dan f₁ dq₁ + f₂ dq₂ = 0. Ketika f₁/f₂ = p₁/p₂ yang juga dapat dibenarkan bahwa                                 p₁ dq₁ + p₂ dq₂ = 0. Karenanya, dari persamaan terakhir 2-27, - dy + q₁ dp₁ + q₂ dp₂ = 0, dan

(∂q₁/∂p₁)|_u=const = D₁₁.l/D                                           … 2-32

Persamaan 2-30, sekarang dapat ditulis sebagai

∂q₁/∂p₁ = (∂q₁/∂p₁)_u=const - q₁(∂q₁/∂y)_price=const            … 2-33

Persamaan 2-33 dikenal dengan persamaan Slutsky. Jumlah ∂q₁/∂p₁ merupakan kemiringan dari kurva permintaan ordiner untuk q₁, dan term pertama pada sisi kanan persamaan 2-33 merupakan kemiringan kurva permintaan q₁ yang dikompensasi.

Alternatif ukuran kompensasi adalah bahwa konsumen memiliki cukup pendapatan untuk membeli satu bundel barang konsumsinya, dan kemudian dy = q₁ dp₁ + q₂ dp₂. Ini adalah persamaan yang mengarah pada persamaan 2-32. Disini

(∂q₁/∂p₁)|_{q1, q2=const} = D₁₁.l/D

yang dapat disubstitusikan untuk term pertama pada persamaan 2-33. Sepintas lalu mungkin akan muncul sesuatu yang luar biasa bahwa dua skema kompensasi akan mengarah pada hasil yang sama. Bagaimanapun, mereka hanya menunjukkan kesamaan derivatif, dan akan mengarah pada hasil yang berbeda untuk setiap perubahan yang tertentu. Seorang konsumen dapat bertahan pada kurva indifferen yang sama dalam kasus tertentu, tetapi tidak terpengaruh untuk membeli satu bundel konsumsi yang sama jika harga relatif berubah. Seluruh analisis yang berurutan ini berbasis pada persamaan 2-33.

Persamaan Slutsky dapat diekspresikan dalam term elastisitas harga dan pendapatan. Kalikan 2-33 oleh p₁/q₁ dan kalikan term terakhir oleh y/y, maka diperoleh

       (∂q₁/∂p₁).(p₁/q₁)   = (∂q₁/∂p₁).(p₁/q₁) - q₁(∂q₁/∂y).(p₁/q₁).(y/y)

                             ε₁₁    = ξ₁₁ – (p₁.q₁/y). (∂q₁/∂y).(y/q₁) = ε₁₁ – α₁η₁             … 2-34

Persamaan 2-34 menunjukkan bahwa elastisitas harga dari kurva perminataan ordiner sama dengan elastisitas harga pada kurva pemintaan yang dikompensasi dikurangi oleh proporsi pengeluaran atas q₁ dikalikan dengan elastisitas pendapatan atas q₁. Karenanya, kurva permintaan ordiner akan memiliki elastisitas permintaan yang lebih besar dari kurva permintaan yang dikompensasi, dan elastisitas harganya akan negatif dari ξ₁₁ jika elastisitas pendapatan – permintaan positif.

Efek Langsung

Term pertama pada persamaan 2-33 adalah efek substitusi atau tingkat dimana konsumen menggantikan q₁ untuk barang lainnya ketika harga q₁ berubah dan bergerak sepanjang kurva indifferent tertentu. Term keduanya disebut dengan efek pendapatan yang menyatakan tingkat dimana pembelian konsumen atas q₁ dapat mengubah pendapatannya, dengan harga yang dianggap konstan. Jumlah dari efek substitusi dan efek pendapatan ini memberikan tingkat perubahan total q₁ seiring perubahan p₁.

Dalam kasus tersebut, multiplier λ adalah derivatif dari utility yang tanggap terhadap pendapatan dengan harga dianggap konstan sedangkan jumlah permintaan dianggap variabel. Dari fungsi utility (U = f(q₁, q₂) menunjukkan bahwa ∂U/∂y=f₁(∂q₁/∂y) + f_q(∂q₂/∂y). Dengan menggantikan f₁=λp₁ dan f₂=λp₂, maka diperoleh

 ∂U/∂y  = λp₁(∂q₁/∂y) + λp₂(∂q₂/∂y)

            = λ[p₁(∂q₁/∂y) + p₂(∂q₂/∂y)]

            = λ.1 = λ                                                         

 [p₁(∂q₁/∂y) + p₂(∂q₂/∂y)] menunjukkan proporsi pengeluaran untuk q1 dan q2, dan jumlahnya harus sama dengan satu.

Pecahkan persamaan 2-27 untuk dλ,

Asumsikan hanya pendapatan yang berubah (dy#0), dan karenanya dp₁=dp₂=0, maka     2-35 menjadi

∂λ/∂y = -D33/D = - f₁₁f₂₂ – f₁₂²/D

Ketika D > 0, tingkat perubahan dari tambahan kegunaan pendapatan akan memiliki tanda yang sama, - (f₁₁f₂₂ – f₁₂²). Hal ini akan menghasilkan tanda negatif jika fungsi kegunaan berbentuk cekung. Bagaimanapun, untuk fungsi kegunaan ordinal diasumsikan seolah cekung, dan teori tidak memprediksi apakah tambahan kegunaan pendapatan meningkat atau menurun seiring dengan perubahan pendapatan.

Melalui persamaan 2-32, efek substitusi adalah D₁₁.l/D. Determinan (D) bertanda positif. Perluasan dari D₁₁ adalah

D₁₁ = -p₂²

yang dengan jelas memiliki tanda negatif. Ini membuktikan bahwa tanda efek substitusi adalah selalu negatif dan kurva permintaan yang dikompensasi selalu memiliki kemiringan yang menurun.  

Perubahan dalam pendapatan riil dapat menyebabkan realokasi sumberdaya konsumen hanya jika harga tidak berubah atau jika mereka berubah dalam proporsi yang sama. Efek pendapatan adalah –q₁(∂q₁/∂y)_price=const dan mungkin salah satu dari dua tand ( - atau +). Efek terakhir dari perubahan harga atas pembelian komoditi adalah tak diketahui. Bagaimanapun, simpulan penting tetap dapat diturunkan. Komoditi q1 disebut barang inferior jika pembelian konsumen menurun seirntg kenaikan atau penurunan pendapatan, contohnya jika (∂q₁/∂y) adalah negatif yang menyebabkan efek pendapatan bertanda positif. Hal ini menunjukkan bahwa seiring p₁ menurun, pembelian konsumen atas q₁ akan menurun juga. Ini dapat terjadi jika konsumen miskin dan kemudian porsi pendapatan yang dipertimbangkan dicurahkan untuk komoditi semacam kentang yang dia butuhkan untuk subsistensinya. Sekarang asumsikan bahwa harga kentang menurun. Konsumen yang kurang menyukai kentang mungkin secara tiba-tiba mengetahui bahwa pendapatan riilnya telah meningkat sebagai hasil dari penurunan harga. Dia kemudian cenderung membeli sedikit kentang dan membeli lebih banyak makanan yang lebih lezat dengan tetap mempertahankan pendapatannya.

Persamaan Slutsky dapat diturunkan untuk fungsi utilitas tertentu yang diasumsikan pada contoh biasanya. Pernyataan kendala anggaran dalam bentuk implisit adalah y – p₁q₁ – p₂q₂ = 0, dan dari fungsi

V = q₁q₂ + λ(y – p₁q₁ – p₂q₂)

Susun turunan parsialnya sama dengan nol, maka

q₂ – λ p₁ = 0

q₁ – λ p₂ = 0

y – p₁q₁ – p₂q₂ = 0

Differensiasi total dari persamaan di atas adalah

Denotasikan determinan dari koefisien persamaan ini dengan D dan kofaktor dari elemen dalam baris ke “i” dan kolom ke “j” dengan D_ij. Perhitungan sederhananya menunjukkan bahwa :

D = 2p₁p₂; D₁₁ = -p₂² ; D₂₁ = p₁p₂ ; D₃₁ = -p₂

Pecahkan dq₁ dengan aturan Cramer,

Asumsikan bahwa dp1#0, dan variabel eksogen lainnya konstan,

∂q₁/∂p₁ = (-p₂².λ – p₂.q₁)/2p₁p₂

             = (-p₂.λ – q₁)/2p₁

Nilai λ dicapai dengan mensubstitusikan nilai q₁ dan q₂ dari kondisi turunan pertama ke dalam persamaan ketiganya dan pecahkan untuk λ dalam term dari parameter p₁, p₂ dan y. Hasilnya substitusikan definisi λ ke dalam persamaan di atas.

Dari persamaan 2-27diperoleh

q₂ = λp₁ dan q₁ = λp₂

 

y – p₁(λp₂) – p₂(λp₁) = 0

y – λ(2p₁p₂) = 0

      y = λ(2p₁p₂)

      λ = y/2p₁p₂

 Jika diketahui y = 100; p₁ = 2; dan p₂ = 5, dan q₁ optimal sebesar 25 unit, maka

∂q₁/∂p₁ = [-5(5)/4] – 25/4

             = -12,5

Pengertian jawaban ini adalah pembelian konsumen adakan berubah sebesar 12,5 unit dari komoditi 1 dari per dollar perubahan dalam harganya. Lebih lanjut arah perubahan dalam pembelian konsumen terbalik dengan arah perubahan dalam harga. Pernytanaan –p₂λ/2p₁ adalah efek substitusi, dan nilainya sebesar -6,25. Pernyataan –q₁/2p₁ adalah efek pendapatan dengan nilainya sebesar -6,25.

Efek Silang

Persamaan Slutsky, 2-33, dan elastisitasnya yang ditunjukkan persamaan 2-34 dapat diperluas untuk menghitung perubahan dalam permintaan untuk satu komoditi yang dihasilkan dari perubahan dalam harga komoditi lainnya. Bentuk yang digeneralisasinya adalah

∂q_i/∂p_j = D_jiλ/D + q_j(D_3j/D) = (∂q_i/∂p_j)_u=const – q_j(∂q_j/∂y)_price=const      ... 2-37

dan ε_ij = ξ_ij - α_jη_i                                                                                  ... 2-38

untuk i, j = 1, 2. Tanda dari efek substitusi silang (i#j) tidak diketahui secara umum. Misalnya S_ij = D_jiλ/D menunjukkan efek substitusi ketika jumlah komoditi ke ‘i” disesuaikan sebagai hasil dari perubahan dalam harga komoditi ke “j”. Jika determinannya, D,  simetris, D₁₂ = D₂₁, dan hal itu menyatakan bahwa S_ij = S_ji. Efek substitusi pada komoditi ke “i” yang dihasilkan dari perubahan dalam harga komoditi ke “j” adalah sama dengan efek substitusi dari komoditi ke “j” yang dihasilkan dari perubahan harga komoditi ke “i”.

Penjumlahan dari elastisitas permintaan yang dikompensasi untuk komoditi 1 sebagai hasil dari perubahan dalam p1 dan p2 adalah

ξ₁₁ + ξ₁₂ = p₁D₁₁λ/q₁D + p₂D₂₁λ/q₁D = λ(p₁D₁₁ + p₂D₂₁)/ q₁D = 0

Term dalam tanda kurung sama dengan nol ketika diekspansi dari determinan persamaan 2-27 dalam term kofaktor yang asing, contohnya kofaktor dalam elemen kolom pertama dikalikan dengan elemen kolom terakhir yang negatif. Kemudian, elastisitas kompensasi yang negatif untuk q₁ yang tanggap terhadap p₁ sama dalam nilai absolut elastisitas kompensasi yang positif untuk 1 yang tanggap terhadap p₂.

Penjumlahan elastisitas permintaan ordiner yang negatif untuk q1 sebagai hasil dari perubahan dalam p1 dan p2 dijelaskan pada persamaan 2-38 :

            -(ε₁₁ + ε₁₂) = -(ξ₁₁ + ξ₁₂) + (α₁ + α₂)η₁ = η₁                 ... 2-40

dari persamaan 2-39 dan α₁ + α₂ = 1. Elastisitas permintaan-pendapatan untuk komoditi sama dengan penjumlahan elastisitas permintaan ordiner yang negatif untuk komoditi tersebut dengan tanggap terhadap harganya dan harga komoditi lain.

Pengganti dan Pelengkap

Dua komoditi disubstitusikan jika masing-masing dapat memenuhi kebutuhan konsumen yang sama; mereka dikomplementerkan jika mereka dikonsumsi bersama dalam tujuan untuk memenuhi beberapa kebutuhan tertentu. Ini adalah definisi yang longgar, akan tetapi pengalaman setiap hari dapat memengaruhi contoh yang memungkinkan. Kopi dan teh dapat disubstitusikan, sementara kofi dan gula dikomplementerkan. Definisi yang lebih ketat dari substitutability dan complementarity disajikan melalui term substitusi silang persamaan Slutsky 2-37. q₁ dan q₂ disubstitusikan jika efek substitusi D₂₁λ/D positif; dan mereka komplementer jika term tersebut negatif.

\     Substitusi jika                   D₂₁λ/D > 0

\     Komplementer jika           D₂₁λ/D < 0

Jika q₁ dan q₂ dapat disubstitusikan (dalam pengertian sehari-hari) dan jika variasi kompensasi dalam pendapatan mempertahankan konsumen pada kurva indifferent yang sama, maka suatu kenaikan dalam p₁ akan memengaruhi konsumen untuk mengganti q₂ untuk q₁. Kemudian (∂q₂/∂p₁)_u=const > 0. Sebagai alasan yang analog, (∂q₂/∂p₁)_u=const < 0 dalam kasus yang komplemen.

Seluruh komoditi tidak bisa komplementer bagi yang lainnya. Karenanya hanya kemampusubstitusian dapat terjadi dalam kasus dua variabel ini. Teorema ini dapat mudah dibuktikan. Kalikan persamaan 2-30 oleh p₁, 2-31 oleh y, dan 2-37 untuk i = 1 dan j = 2 oleh p₂, dan dengan menjumlahkannya diperoleh :

(D₁₁.l/D).p₁ + q₁.(D₃₁/D).p₁ + (- D₃₁/D).y + [D₂₁λ/D + q₂(D₃₂/D)].p₂

(D₁₁.l/D).p₁ + q₁.(D₃₁/D).p₁ + (D₂₁λ/D).p₂ + q₂(D₃₁/D).p₂ – (D₃₁/D).y

                                                = 1/D[D₁₁.l.p₁ + q₁.D₃₁.p₁ + D₂₁λ.p₂ + q₂.D₃₁.p₂ – D₃₁.y]

                                                = 1/D[D₁₁.l.p₁ + D₂₁λ.p₂ - D₃₁(y - p₁q₁ – p₂q₂)

                                                = 1/D[D₁₁.l.p₁ + D₂₁λ.p₂ - D₃₁(0) = 0

Tanda dalam kurung sama dengan non ketika term tersebut menyatakan perluasannya dalam term kofaktor yang asing seperti dalam 2-39. Substitusikan S_ij = D_jiλ/D,

S₁₁p₁ + S₁₂p₂ = 0                                                         ... 2-41

Efek substitusi untuk q1 yang dihasilkan dari perubahan dalam p1, S11 diketahui memiliki tanda negatif. Karenanya (2-41) menyebabkan bahwa S12 harus positif, dan dalam term definisi kemampusubstitusian dan kemampuanlengkapan hal ini berarti bahwa q1 dan q2 bersubstitusi secara perlu.

Komoditi i dan j merupakan substitusi kotor  atau pelengkap kotor sesuai dengan apakah efek total ∂qi/∂pj bersifat positif atau negatif.